本书以主丛与矢丛上的联络为主线介绍现代微分几何，全书分两部分，各5章。前3章给出微分流形的基本概念，把欧氏空间的微积分推广到微分流形上。第4，5章分别讨论Riemann流形与李群及李代数。第6，7章分别介绍纤维丛理论与复流形，其中7.6节证明球面S^6上没有可积的等距复结构。第8章介绍示性类，其中8.7节用示性类讨论Milnor的7维怪球。第9章介绍Clifford代数与旋量群。第10章介绍Atiyah-Singer指标定理、规范场论与Seiberg-Witten方程。本书内容丰富，纲目清楚，论证严谨，易于学习。
第1～5章可以作为高年级本科生或研究生一学期的微分流形课程教材，第6～10章可以作为微分几何研究生教材，也可作为数学工作者的参考书。
样章试读
目录
- 前言
第1章 微分流形
1.1 微分流形的定义及例子
1.1.1 欧氏空间
1.1.2 微分流形的定义
1.1.3 微分流形的例子
1.1.4 微分流形之间的映射
习题1.1
1.2 切空间
1.2.1 代数预备知识
1.2.2 切空间
1.2.3 余切空间
习题1.2
1.3 切丛与向量场
1.3.1 切丛与向量场
1.3.2 李括号积
1.3.3 切映射与余切映射
习题1.3
1.4 子流形
1.4.1 预备定理
1.4.2 浸入与嵌入
习题1.4
1.5 Frobenius定理
1.5.1 积分曲线
1.5.2 Frobenius定理
1.5.3 积分子流形
习题1.5
第2章 外微分形式
2.1 张量与张量积
2.1.1 多重线性函数与张量积
2.1.2 张量
2.1.3 对称与反对称张量
习题2.1
2.2 外代数
习题2.2
2.3 矢丛
习题2.3
2.4 外微分形式
2.4.1 外微分形式
2.4.2 外微分
2.4.3 Frobenius定理的另一描述
习题2.4
2.5 单位分解与流形的定向
2.5.1 单位分解
2.5.2 流形的定向
2.5.3 带边流形
习题2.5
2.6 流形上的积分与Stokes定理
2.6.1 外形式的积分
2.6.2 Stokes定理
2.6.3 de Rham同调群
习题2.6
第3章 联络
3.1 联络和测地线
3.1.1 联络的定义及性质
3.1.2 平行移动和测地线
3.1.3 法坐标与指数映射
习题3.1
3.2 挠率和曲率
习题3.2
3.3 张量丛上的联络
3.3.1 矢丛上的联络
3.3.2 流形的张量丛上的联络
习题3.3
第4章 Riemann流形
4.1 Riemann几何基本定理
4.1.1 Riemann度量
4.1.2 Riemann联络
习题4.1
4.2 Riemann流形上的测地线
4.2.1 法极坐标
4.2.2 测地完备性
习题4.2
4.3 Riemann曲率
4.3.1 Riemann曲率张量
4.3.2 截面曲率
习题4.3
4.4 Jacobi场和共轭点
习题4.4
4.5 Riemann子流形
4.5.1 子流形的基本公式
4.5.2 活动标架法
4.5.3 欧氏空间的子流形
习题4.5
4.6 Hodge理论
4.6.1 星算子
4.6.2 Laplace算子
4.6.3 Hodge定理及其应用
4.6.4 Poincaré对偶
习题4.6
4.7 Gauss-Bonnet定理
4.7.1 Euler示性类
4.7.2 向量场零点的指标
4.7.3 Euler-Poincaré数
4.7.4 Gauss-Bonnet定理
习题4.7
第5章 李群
5.1 李群与李代数
5.1.1 李群的定义与例子
5.1.2 李代数
5.1.3 流形上的单参数变换群
习题5.1
5.2 李群同态与指数映射
5.2.1 李群同态
5.2.2 指数映射
习题5.2
5.3 李群与李代数的伴随表示
5.3.1 李群与李代数的伴随表示
5.3.2 Killing-Cartan内积
习题5.3
5.4 齐性流形
5.4.1 齐性流形
5.4.2 齐性流形上的Riemann几何
习题5.4
5.5 Riemann对称空间
5.5.1 对称空间的性质
5.5.2 对称空间的曲率
习题5.5
参考文献
第6章 纤维丛理论
6.1 矢丛同态与矢丛上的联络
6.1.1 矢丛的同态与同构
6.1.2 诱导丛
6.1.3 矢丛上的联络
习题6.1
6.2 纤维丛与主丛
6.2.1 纤维丛
6.2.2 主丛的定义与例
6.2.3 相配矢丛
习题6.2
6.3 主丛上的联络
6.3.1 矢丛的标架丛上的联络
6.3.2 主丛上联络的定义与性质
6.3.3 水平提升
6.3.4 主丛上联络的曲率
习题6.3
6.4 Hopf丛π:S^7→S^4上的联络
习题6.4
6.5 再谈矢丛上的联络
习题6.5
6.6 和乐群
6.6.1 主丛上的和乐群
6.6.2 流形上的和乐群
习题6.6
6.7 Grassmann流形
习题6.7
第7章 复流形
7.1 复线性空间与复结构
习题7.1
7.2 复流形
7.2.1 复流形
7.2.2 复流形上的全纯矢丛
习题7.2
7.3 近复流形
7.3.1 近复流形
7.3.2 近复流形上的联络
习题7.3
7.4 Kaehler流形
习题7.4
7.5 Kaehler流形的例子
习题7.5
7.6 球面S^2n上的复结构
7.6.1 欧氏空间R^2n上的复结构
7.6.2 扭化空间Je(S^2n)
7.6.3 球面S^2n上的等距近复结构
7.6.4 球面S^2n上的近复结构
习题7.6
第8章 示性类
8.1 Chern-Weil同态
8.1.1 Ad(G)不变多项式
8.1.2 主丛上情形
8.1.3 矢丛上情形
习题8.1
8.2 Ad(G)不变多项式
8.2.1 U(n)不变多项式
8.2.2 O(n)与SO(n)不变多项式
习题8.2
8.3 陈类
习题8.3
8.4 Pontrjagin类与Euler类
8.4.1 Pontrjagin类
8.4.2 Euler类及其超渡式
8.4.3 Gauss-Bonnet定理
习题8.4
8.5 陈类, Pontrjagin类与Euler类的关系
习题8.5
8.6 Grassmann流形上的矢丛与示性类
8.6.1 Grassmann流形上的示性类
8.6.2 Grassmann流形的子流形
8.6.3 Grassmann流形的整同调群
习题8.6
8.7 Milnor的7维怪球
8.7.1 球面S^4上的矢丛与示性类
8.7.2 Milnor怪球
习题8.7
第9章 Clifford代数与旋量群
9.1 Clifford代数与旋量群
9.1.1 Clifford代数的定义
9.1.2 旋量群
9.1.3 Cl_n上的欧氏内积
习题9.1
9.2 复Clifford代数
习题9.2
9.3 实Clfford代数
9.3.1 Cl_2n的情形
9.3.2 Cl_2n+1的情形
9.3.3 Clifford代数的周期性
习题9.3
9.4 Cl_8及其应用
9.4.1 Clifford代数Cl_8
9.4.2 Triality变换
9.4.3 Grassmann流形的几何
习题9.4
9.5 球面上的向量场
习题9.5
9.6 自旋主丛与旋量丛
9.6.1 流形上的自旋结构
9.6.2 旋量丛上的联络
习题9.6
9.7 校准
9.7.1 校准的定义与性质
9.7.2 校准和Clifford代数
9.7.3 校准的微分方程
习题9.7
第10章 Atiyah-Singer指标定理
10.1 椭圆微分算子
10.1.1 矢丛上的微分算子与主象征
10.1.2 经典的椭圆微分算子
习题10.1
10.2 de Rham算子d+δ与Atiyah-Singer算子的关系
10.2.1 算子d+δ:A(M)→A(M)
10.2.2 Dirac算子
习题10.2
10.3 Dolbeault算子与Atiyah-Singer算子的关系
10.3.1 代数预备知识
10.3.2 Dolbeault算子与Atiyah-Singer算子的关系
习题10.3
10.4 Atiyah-Singer指标定理
习题10.4
10.5 Bochner技巧
10.5.1 Weitzenbock公式
10.5.2 Weitzenbock公式的运用
习题10.5
10.6 Yang-Mills方程与Seiberg-Witten方程
10.6.1 Yang-Mills方程
10.6.2 Seiberg-Witten方程
习题10.6
参考文献
名词索引
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