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本书内容包括常微分方程两点边值问题的差分解法、椭圆型方程的差分解法、抛物型方程的差分解法、双曲型方程的差分解法、高维方程的交替方向法和有限元方法简介。力求做到:(a)精选内容。重点介绍有限差分方法。(b)难点分散。对于差分方法,先从常微分方程两点边值问题出发,介绍差分方法的有关概念以及常用的分析技巧,然后将这些概念和技巧分别应用到椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程的数值求解。对于有限元方法,也先从常微分方程两点边值问题出发,介绍有限元方法的基本思想,再研究椭圆型方程的有限元解法。(c)强调会“用”各种数值方法。先举例示范,再要求学生模仿,最后到熟练掌握。书末的两个附录分别介绍获得微分方程问题解的先验估计式的能量方法和获得差分方程解的先验估计式的有限Fourier级数法。
本书是“信息与计算科学”及“数学与应用数学”专业的基础课教材,亦可作为高等学校数学及其他专业研究生的教学用书。
目录
- 第1章 常微分方程两点边值问题的差分解法
1.1 Dirichlet边值问题
1.2 导数边界值问题
小结与拓展
习题1
第2章 椭圆形方程的差分解法
2.1 Dirichlet边值问题
2.2 紧差分格式
2.3 导数边界值问题
2.4 双调和方程边值问题
小结与拓展
习题2
第3章 抛物型方程的差分解法
3.1 向前Euler格式
3.2 向后Euler格式
3.3 Richardson格式
3.4 Crank-Nicolson格式
3.5 紧差分格式
3.6 导数边界值问题
小结与拓展
习题3
第4章 双曲型方程的差分解法
4.1 显式差分格式
4.2 隐式差分格式
4.3 紧差分格式
小结与拓展
习题4
第5章 高维方程的交替方向法
5.1 二维抛物型方程的交替方向隐格式
5.2 二维双曲型方程的交替方向隐格式
5.3 二维抛物型方程的紧交替方向隐格式
5.4 二维双曲型方程的紧交替方向隐格式
小结与拓展
习题5
第6章 有限元方法简介
6.1 常微分方程边值问题的有限元解法
6.2 椭圆型方程边值问题的有限元解法
6.3 抛物型方程初边值问题的有限元解法
小结与拓展
习题6
参考文献
附录A 微分方程问题解的先验估计式——能量方法
A.1 基本微分不等式
A.2 两点边值问题解的先验估计式
A.3 椭圆型方程第一边值问题解的先验估计式
A.4 抛物型方程第一边值问题解的先验估计式
A.5 双曲型方程第一边值问题解的先验估计式
小结与拓展
附录B 差分方程解的先验估计式——有限Fourier级数
B.1 有限Fourier级数
B.2 两点边值问题差分解的先验估计式
B.3 抛物型方程第一边值问题差分解的先验估计式
B.4 双曲型方程第一边值问题差分解的先验估计式
小结与拓展