本书内容主要包括函数与极限、一元函数微分学及其应用、一元函数积分学及其应用、常微分方程、向量代数与解析几何、多元函数微分学及其应用、多元函数积分学及其应用、无穷级数、数学实践与数学建模初步等。本书结构体系严谨、语言组织精炼、论述条理简洁、例题与习题编排合理。
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前言
第1章 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 变量的变化范围 1
1.1.2 函数的定义 2
1.1.3 几类特殊的函数 4
1.1.4 初等函数 9
1.2 函数的极限 12
1.2.1 数列的极限 12
1.2.2 函数的极限 20
1.2.3 函数极限的性质及其运算法则 23
1.3 无穷大量与无穷小量 32
1.3.1 无穷大量与无穷小量的定义 32
1.3.2 无穷小量之间的比较 33
1.4 连续函数 36
1.4.1 连续函数的定义 36
1.4.2 连续函数的性质 38
1.4.3 函数间断点的分类 41
1.5 思考与拓展 43
复习题1 48
第2章 一元函数微分学及其应用 51
2.1 函数的导数 51
2.1.1 实例 51
2.1.2 导数的定义 52
2.1.3 基本初等函数的导数 56
2.1.4 高阶导数 57
2.2 求导的基本方法 59
2.2.1 导数的四则运算法则 59
2.2.2 四类特殊函数的求导法则 62
2.2.3 对数求导法与指数求导法 67
2.3 函数的微分 69
2.3.1 微分的定义 69
2.3.2 线性近似 71
2.4 微分中值定理及其应用 72
2.4.1 Rolle中值定理 72
2.4.2 Lagrange中值定理 74
2.4.3 Cauchy中值定理 78
2.4.4 Taylor公式 79
2.5 未定式极限 86
2.5.1 0/0型和∞/∞型 86
2.5.2 其他未定式极限 88
2.6 函数性态 91
2.6.1 函数的单调性 91
2.6.2 函数的极值 93
2.6.3 函数的凸性与渐近线 98
2.6.4 弧微分与曲线的曲率 101
2.7 思考与拓展 105
复习题2 112
第3章 一元函数积分学及其应用 115
3.1 定积分的概念及性质 115
3.1.1 实例 115
3.1.2 定积分的定义 116
3.1.3 定积分的性质 119
3.2 不定积分与微积分基本定理 123
3.2.1 原函数与不定积分 123
3.2.2 微积分基本定理 126
3.3 不定积分的积分方法 130
3.3.1 换元积分法 130
3.3.2 分部积分法 132
3.3.3 四类特殊函数的不定积分 136
3.3.4 定积分的计算 141
3.4 广义积分 146
3.4.1 无限区间上的广义积分 147
3.4.2 有限区间上无界函数的广义积分 148
3.5 定积分的应用 153
3.5.1 微元法 153
3.5.2 几何上的应用 155
3.5.3 物理上的应用 159
3.5.4 积分不等式 162
3.6 思考与拓展 171
复习题3 174
第4章 常微分方程 177
4.1 常微分方程的基本概念 177
4.1.1 实例 177
4.1.2 基本概念 178
4.2 一阶常微分方程 180
4.2.1 可分离变量方程 181
4.2.2 齐次方程 182
4.2.3 一阶线性微分方程 184
4.2.4 Bernoulli方程 186
4.3 高阶常微分方程 188
4.3.1 可降阶的高阶常微分方程 188
4.3.2 n阶线性常微分方程 190
4.3.3 Euler方程 193
4.4 二阶常系数非齐次常微分方程 194
4.4.1 二阶齐次常系数微分方程 194
4.4.2 f(x) = Pm(x)e*x型 195
4.4.3 f(x) = e*x(Ps(x)cos wx + Qt(x) sin wx)型 196
4.5 微分方程应用 199
4.5.1 几何上的应用 199
4.5.2 物理上的应用 200
4.6 思考与拓展 203
复习题4 205
第5章 向量代数与解析几何 208
5.1 向量代数 208
5.1.1 向量的概念 208
5.1.2 向量的线性运算 209
5.1.3 向量线性运算的坐标表示 210
5.1.4 向量的方向余弦与向量的投影 211
5.2 向量的数量积、向量积与混合积 213
5.2.1 向量的数量积 213
5.2.2 向量的向量积 215
5.3 空间曲面及其方程 218
5.3.1 曲面方程 218
5.3.2 二次曲面 221
5.4 空间曲线和向量函数 222
5.4.1 空间曲线及其方程 222
5.4.2 空间曲线在坐标面上的投影 224
¤5.4.3 向量函数 225
5.5 平面与直线 227
5.5.1 平面及其方程 227
5.5.2 空间直线及其方程 229
5.5.3 直线与平面的位置关系 232
5.6 思考与拓展 235
复习题5 239
第6章 多元函数微分学及其应用 241
6.1 多元函数 241
6.1.1 区域 241
6.1.2 n元函数及二元函数的极限 242
6.1.3 二元函数的连续性 246
6.2 偏导数与全微分 248
6.2.1 n元函数的偏导数 248
6.2.2 二元函数偏导数与一元函数导数的差异 250
6.2.3 高阶偏导数 251
6.2.4 n元函数的全微分 253
6.3 复合函数与隐函数求导法 258
6.3.1 复合函数求导法 258
6.3.2 隐函数的微分法 263
6.4 方向导数与梯度 266
6.4.1 方向导数 266
6.4.2 梯度 269
6.5 偏导数的应用 270
6.5.1 Taylor公式 270
6.5.2 几何上的应用 273
6.5.3 二元函数的极值和最值 276
6.5.4 条件极值的Lagrange乘数法 279
6.6 思考与拓展 282
复习题6 284
第7章 多元函数积分学及其应用 287
7.1 n重积分 287
7.1.1 n重积分的定义 287
7.1.2 n重积分的性质 288
7.1.3 二重积分与三重积分 289
7.2 重积分的计算 293
7.2.1 二重积分的计算 293
7.2.2 三重积分的计算 301
7.2.3 重积分的应用 305
7.3 曲线积分 311
7.3.1 对弧长的曲线积分 311
7.3.2 对坐标的曲线积分 314
7.4 Green公式及其应用 320
7.4.1 Green公式 320
7.4.2 曲线积分与积分路径无关的充分必要条件 325
7.5 曲面积分 331
7.5.1 对面积的曲面积分 331
7.5.2 对坐标的曲面积分 334
7.5.3 Gauss公式 338
7.5.4 Stokes公式 340
7.5.5 场论初步 342
7.5.6 Hamilton算子 344
7.6 思考与拓展 346
复习题7 352
第8章 无穷级数 355
8.1 无穷级数及其基本性质 355
8.1.1 问题的提出 355
8.1.2 无穷级数的基本概念 357
8.1.3 无穷级数的性质 360
8.2 级数收敛判别法 362
8.2.1 正项级数收敛判别法 362
8.2.2 一般项级数收敛判别法 368
8.3 幂级数 373
8.3.1 函数项级数 373
8.3.2 幂级数及其收敛性 375
8.3.3 幂级数的运算 380
8.4 函数展开为幂级数 386
8.4.1 Taylor级数 386
8.4.2 函数展开为幂级数的应用 391
8.4.3 微分方程的幂级数解法 394
8.5 Fourier级数 396
8.5.1 三角函数系的正交性 396
8.5.2 函数展开成Fourier级数 397
8.5.3 正弦级数与余弦级数 400
8.5.4 一般周期函数的Fourier级数 401
8.6 思考与拓展 405
复习题8 410
第9章 数学实践与数学建模初步 413
9.1 数学实践 413
9.1.1 函数与极限的应用实例 413
9.1.2 一元函数微积分的应用实例 418
9.1.3 n元函数微积分的应用实例 425
9.1.4 无穷级数的应用举例 428
9.2 Matlab在高等数学中的应用 431
9.3 数学建模初步 435
9.3.1 基本知识 435
9.3.2 建模实例 437
9.4 简单的经济数学模型 442
9.4.1 边际成本与边际效益 442
9.4.2 效用函数 444
9.4.3 商品替代率 444
9.4.4 效用分析 445
参考文献 446
部分习题参考答案或提示 448
数学浅谈 473
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