本书力求对分数阶微分方程的差分方法作个简明介绍.全书分为6章.第1章介绍4种分数阶导数的定义,给出两类最简单的分数阶常微分方程初值问题解析解的表达式;介绍分数阶导数的几种数值逼近方法,研究它们的逼近精度,并应用于分数阶常微分方程的数值求解.这些是后面章节中分数阶偏微分方程数值解的基础.第2~6章依次论述求解时间分数阶慢扩散方程的有限差分方法、求解时间分数阶波方程的有限差分方法、求解空间分数阶偏微分方程的有限差分方法、求解一类时空分数阶微分方程的有限差分方法以及求解一类时间分布阶慢扩散方程的有限差分方法.对每一差分格式,分析其唯一可解性、稳定性和收敛性.
样章试读
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《信息与计算科学丛书》序
前言
第1章分数阶导数及其数值逼近1
1.1分数阶导数的定义和性质1
1.1.1分数阶积分1
1.1.2Gr.unwald-Letnikov(G-L)分数阶导数1
1.1.3Riemann-Liouville(R-L)分数阶导数2
1.1.4Caputo分数阶导数2
1.1.5Riesz分数阶导数4
1.1.6积分下限处分数阶导数的性态4
1.2分数阶导数的Fourier变换5
1.3分数阶常微分方程6
1.3.1R-L型分数阶常微分方程的求解6
1.3.2Caputo型分数阶常微分方程的求解9
1.4分数阶导数的数值逼近10
1.4.1R-L分数阶导数的G-L逼近10
1.4.2Riesz分数阶导数的中心差商逼近23
1.4.3Caputo分数阶导数的L1插值逼近30
1.4.4Caputo分数阶导数的Alikhanov超收敛点插值逼近35
1.5分数阶常微分方程的差分方法39
1.5.1基于G-L逼近的方法39
1.5.2基于L1插值逼近的方法46
1.5.3基于Alikhanov超收敛点插值逼近的方法52
1.6补注与讨论54
习题1 56
第2章时间分数阶慢扩散方程的差分方法58
2.1一维问题基于G-L逼近的空间二阶方法58
2.1.1差分格式的建立60
2.1.2差分格式的唯一可解性61
2.1.3差分格式的稳定性62
2.1.4差分格式的收敛性64
2.2一维问题基于G-L逼近的空间四阶方法64
2.2.1差分格式的建立64
2.2.2差分格式的唯一可解性65
2.2.3差分格式的稳定性66
2.2.4差分格式的收敛性67
2.3一维问题基于L1插值逼近的空间二阶方法68
2.3.1差分格式的建立68
2.3.2差分格式的唯一可解性69
2.3.3差分格式的稳定性70
2.3.4差分格式的收敛性71
2.4一维问题基于L1插值逼近的空间四阶方法72
2.4.1差分格式的建立72
2.4.2差分格式的唯一可解性73
2.4.3差分格式的稳定性73
2.4.4差分格式的收敛性75
2.5二维问题基于G-L逼近的ADI方法75
2.5.1差分格式的建立77
2.5.2差分格式的唯一可解性79
2.5.3差分格式的稳定性80
2.5.4差分格式的收敛性81
2.6二维问题基于L1插值逼近的ADI方法82
2.6.1差分格式的建立83
2.6.2差分格式的唯一可解性85
2.6.3差分格式的稳定性85
2.6.4差分格式的收敛性87
2.7多项时间分数阶慢扩散方程的差分方法88
2.7.1差分格式的建立88
2.7.2差分格式的唯一可解性89
2.7.3差分格式的稳定性90
2.7.4差分格式的收敛性92
2.8补注与讨论93
习题2 94
第3章时间分数阶波方程的差分方法96
3.1一维问题的空间二阶方法96
3.1.1差分格式的建立96
3.1.2差分格式的唯一可解性97
3.1.3差分格式的稳定性98
3.1.4差分格式的收敛性100
3.2一维问题的空间四阶方法101
3.2.1差分格式的建立101
3.2.2差分格式的唯一可解性102
3.2.3差分格式的稳定性103
3.2.4差分格式的收敛性105
3.3二维问题的ADI方法106
3.3.1差分格式的建立106
3.3.2差分格式的唯一可解性109
3.3.3差分格式的稳定性109
3.3.4差分格式的收敛性111
3.4二维问题的紧ADI方法112
3.4.1差分格式的建立112
3.4.2差分格式的唯一可解性114
3.4.3差分格式的稳定性116
3.4.4差分格式的收敛性119
3.5多项时间分数阶波方程的差分方法120
3.5.1差分格式的建立120
3.5.2差分格式的唯一可解性121
3.5.3差分格式的稳定性122
3.5.4差分格式的收敛性124
3.6补注与讨论125
习题3 126
第4章空间分数阶微分方程的差分方法129
4.1一维问题基于位移G-L逼近的一阶方法129
4.1.1差分格式的建立130
4.1.2差分格式的唯一可解性131
4.1.3差分格式的稳定性132
4.1.4差分格式的收敛性133
4.2一维问题基于加权位移G-L逼近的二阶方法133
4.2.1差分格式的建立134
4.2.2差分格式的唯一可解性135
4.2.3差分格式的稳定性136
4.2.4差分格式的收敛性137
4.3一维问题基于加权位移G-L逼近的四阶方法138
4.3.1差分格式的建立139
4.3.2差分格式的唯一可解性140
4.3.3差分格式的稳定性141
4.3.4差分格式的收敛性143
4.4二维问题基于加权位移G-L逼近的四阶ADI方法144
4.4.1差分格式的建立145
4.4.2三个引理147
4.4.3差分格式的唯一可解性149
4.4.4差分格式的稳定性150
4.4.5差分格式的收敛性151
4.5补注与讨论152
习题4 153
第5章时空分数阶微分方程的差分方法156
5.1一维问题的空间二阶方法156
5.1.1差分格式的建立157
5.1.2差分格式的唯一可解性158
5.1.3两个引理159
5.1.4差分格式的稳定性164
5.1.5差分格式的收敛性165
5.2一维问题的空间四阶方法166
5.2.1差分格式的建立166
5.2.2差分格式的唯一可解性168
5.2.3差分格式的稳定性168
5.2.4差分格式的收敛性170
5.3二维问题的空间二阶方法171
5.3.1差分格式的建立172
5.3.2差分格式的唯一可解性173
5.3.3差分格式的稳定性174
5.3.4差分格式的收敛性177
5.4二维问题的空间四阶方法177
5.4.1差分格式的建立178
5.4.2差分格式的唯一可解性180
5.4.3差分格式的稳定性181
5.4.4差分格式的收敛性184
5.5补注与讨论185
习题5 186
第6章时间分布阶慢扩散方程的差分方法188
6.1一维问题空间和分布阶二阶方法188
6.1.1差分格式的建立188
6.1.2差分格式的唯一可解性191
6.1.3两个引理191
6.1.4差分格式的稳定性194
6.1.5差分格式的收敛性195
6.2一维问题空间和分布阶四阶方法196
6.2.1差分格式的建立197
6.2.2差分格式的唯一可解性199
6.2.3差分格式的稳定性199
6.2.4差分格式的收敛性201
6.3二维问题空间和分布阶二阶方法202
6.3.1差分格式的建立203
6.3.2差分格式的唯一可解性204
6.3.3差分格式的稳定性205
6.3.4差分格式的收敛性206
6.4二维问题空间和分布阶四阶方法207
6.4.1差分格式的建立207
6.4.2差分格式的唯一可解性209
6.4.3差分格式的稳定性209
6.4.4差分格式的收敛性211
6.5二维问题空间和分布阶二阶ADI方法212
6.5.1差分格式的建立212
6.5.2差分格式的唯一可解性214
6.5.3差分格式的稳定性215
6.5.4差分格式的收敛性216
6.6二维问题空间和分布阶四阶ADI方法217
6.6.1差分格式的建立217
6.6.2差分格式的唯一可解性219
6.6.3差分格式的稳定性220
6.6.4差分格式的收敛性221
6.7补注与讨论222
习题6 224
参考文献228
索引233
《信息与计算科学丛书》已出版书目235
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