中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书的文章系根据2015年数学所讲座9个报告的讲稿整理而成，按报告的时间顺序编排。具体内容包括：三维复双有理几何、图论、双哈密顿系统与可积系统、二维共形量子场论、描述集合论、拓扑量子场论和几何不变量、图像恢复问题中的数学方法、湍流、表示论中的狄拉克上同调等。
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1 从形式化的终极奇点的组合律到复三维精细双有理几何 陈猛
1.1 问题的背景 1
1.1.1 序言 1
1.1.2 高维双有理几何概述 2
1.1.3 三维代数簇的精细分类问题 3
1.2 奇点篮及其组合数学 4
1.2.1 三维终极奇点 4
1.2.2 Reid的奇点篮及黎曼-洛克公式 5
1.2.3 组合意义下的终极奇点 5
1.2.4 奇点篮的典范序列 7
1.2.5 基本挤压数2n(B)的计算 8
1.3 加权奇点篮的计算公式和关键不等式 9
1.3.1 加权奇点篮与不变量 9
1.3.2 加权奇点篮的挤压偏序及其性质 9
1.3.3 加权奇点篮的典范序列 9
1.3.4 用欧拉特征标表示奇点篮 10
1.4 形式化奇点篮的组合律的几何应用 13
1.4.1 几何奇点篮 13
1.4.2 一般型三维簇的精细双有理几何 13
1.4.3 有理法诺三维簇的精细有界性 14
1.4.4 加权完全交三维簇的完整分类 15
参考文献 15
2 图论中的若干问题 范更华
2.1 七桥问题 19
2.2 欧拉图分解及相关问题 20
2.3 四色问题 22
2.4 哈密顿圈问题 23
2.5 Ramsey数问题 25
2.6 整数流问题 26
2.7 子图和问题 27
2.8 图论的应用 29
附记 30
参考文献 30
3 双哈密顿上同调与非线性可积系统 张友金
3.1 引言 32
3.2 KdV方程簇及其双哈密顿结构 34
3.3 无穷维哈密顿结构及其上同调 38
3.4 双哈密顿结构及其上同调 44
3.5 流体力学型双哈密顿结构的拓扑形变 48
3.6 结尾 51
参考文献 52
4 二维共形量子场论：数学定义和顶点算子代数表示理论方法 黄一知
4.1 引言 54
4.2 定义、早期结果和猜想 55
4.2.1 定义 55
4.2.2 Verlinde猜想和Verlinde公式 57
4.2.3 Moore-Seiberg多项式方程和猜想 58
4.2.4 Witten的猜想和问题 59
4.2.5 关于Calabi-Yau非线性西格玛模型的猜想 59
4.2.6 中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类猜想 60
4.2.7 早期结果和猜想所提出的数学问题 61
4.3 一个长期研究纲领和已经解决的主要问题 62
4.3.1 一个构造和研究共形场论的长期纲领 62
4.3.2 顶点算子代数的几何 63
4.3.3 交错算子和顶点张量范畴 64
4.3.4 模不变性 66
4.3.5 Verlinde公式、刚性和模性性质 68
4.3.6 全共形场论和开-闭共形场论 70
4.3.7 上同调和变形理论 71
4.3.8 顶点算子代数的扭曲模和不动点子代数 72
4.3.9 关于Schellekens分类猜想的研究进展 73
4.4 有待解决的问题和猜想 74
4.4.1 构造满足Kontsevich-Segal-Moore-Seiberg公理的有理共形场论 74
4.4.2 阶限制顶点代数上同调理论和模的完全可约性 76
4.4.3 共形场论的模空间 77
4.4.4 对数共形场论的构造和研究 78
4.4.5 轨形共形场论 79
4.4.6 月光模顶点算子代数的唯一性和中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类 80
4.4.7 Calabi-Yau超共形场论 80
4.4.8 顶点算子代数方法和共形网方法的关系 81
参考文献 82
5 等价关系、分类问题与描述集合论 高速
5.1 等价关系 92
5.2 作为等价关系的分类问题 93
5.3 等价关系的描述集合论 96
5.4 不变量描述集合论 100
5.5 轨道等价关系 103
5.6 非轨道等价关系 105
5.7 结论与前景 106
参考文献 107
6 拓扑量子场论和几何不变量 阮勇斌
参考文献 116
7 图像恢复问题中的数学方法 董彬沈佐伟张小群
7.1 绪论 117
7.2 小波框架方法 121
7.2.1 小波框架变换 121
7.2.2 小波框架变换对图像的逼近 125
7.2.3 小波框架图像恢复模型与算法 129
7.3 PDE方法 134
7.3.1 全变差 135
7.3.2 广义全变差 136
7.3.3 Mumford-Shah模型 137
7.3.4 Perona-Malik方程 140
7.4 小波框架和PDE方法的联系与融合 141
7.4.1 小波框架模型和变分模型的联系 142
7.4.2 小波框架迭代算法和PDE模型的联系 147
7.5 数据驱动稀疏表达 152
7.5.1 随机方法 152
7.5.2 K-SVD：基于过完备字典的稀疏表达 155
7.5.3 数据驱动的紧框架构造 157
7.5.4 用深层神经网络进行图像降噪和修补 160
7.5.5 用深层卷积神经网络实现图像超分辨 162
参考文献 166
8 湍流：19世纪的问题,21世纪的挑战 何国威
参考文献 184
9 表示论中的Dirac上同调 黄劲松
9.1 引言 186
9.1.1 起源 186
9.1.2 概述 187
9.2 关于Dirac上同调的Vogan猜想 188
9.2.1 实约化群与(g；K)-模 188
9.2.2 Dirac算子的定义 191
9.2.3 Vogan猜想及推广 192
9.3 Harish-Chandra模的Dirac上同调 194
9.3.1 有限维模的Dirac上同调 194
9.3.2 酉Aq(*)-模的Dirac上同调 195
9.4 Dirac上同调与(g；K)-上同调 196
9.4.1 (g；K)-上同调 196
9.4.2 Dirac上同调与(g；K)-上同调的关系 199
9.5 最高权模的Dirac上同调 200
9.5.1 Kostant立方Dirac算子 200
9.5.2 Oq范畴 202
9.5.3 不可约最高权模的Dirac上同调 205
9.6 Dirac上同调与u-上同调 206
9.6.1 u-上同调 206
9.6.2 p+-上同调、u-上同调与Dirac上同调 208
9.7 Dirac上同调的分步计算 210
9.8 K-特征标与分歧律 212
9.8.1 最低权模的K-特征标与Dirac指标 212
9.8.2 On*GLn与Sp2n*GL2n的分歧律 215
9.8.3 GLn*SO2n与GLn*Sp2n的分歧律 217
9.9 椭圆表示与内窥理论 218
9.9.1 椭圆表示 218
9.9.2 正交关系与超缓增广义函数 220
9.9.3 有正则无穷小特征标的椭圆表示 221
9.9.4 离散序列表示的伪系数函数 222
9.9.5 内窥传递 223
9.9.6 亚椭圆表示 226
参考文献 226
汉英术语对照 232
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