本书主要介绍了处理反问题(不适定问题)的统计方法，尤其侧重于建模与计算这两大问题。与经典文献中处理反问题的方法不同，本书立足于Bayes统计学的框架，将所有变量都视作随机变量，并把反问题的解以概率密度函数的形式给出。同时，对于数学模型本身存在的误差和数值离散导致的额外误差，本书还创造性地进行了源自建模误差的统计分析。
本书详细讨论了先验模型的构造、测量噪声建模、Bayes估值以及非静态统计反演方法等，并引入Markov链Monte Carlo方法以及最优化方法来探究概率分布。另外从Bayes统计学的角度重新研究了经典正则化方法，揭示了两者之间的关系。对于书中得到的结论和涉及的技法，作者还佐以易懂但深刻的例子帮助读者理解。本书将统计方法应用到一些较为前沿的问题中，例如离散误差分析、模型降阶等。在书中，这些统计方法还被进一步应用于一系列实际问题中，包括有限角度断层成像、图像去模糊、电阻抗断层成像、生物磁学反问题等。
样章试读
目录
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第1章 反问题与对测量的诠释 1
1.1 介绍性示例 2
1.2 反演过失 4
第2章 经典正则化方法 5
2.1 绪论：Fredholm方程 5
2.2 截断奇异值分解 8
2.3 Tikhonov正则化 13
2.3.1 Tikhonov正则化的推广 21
2.4 正则化的迭代方法 23
2.4.1 Landweber-Fridman迭代 23
2.4.2 Kaczmarz迭代与ART 27
2.4.3 Krylov子空间法 35
2.5 注释与评论 42
第3章 统计反演理论 43
3.1 反问题与Bayes公式 43
3.1.1 估计量 45
3.2 似然函数的构造 48
3.2.1 加性噪声 48
3.2.2 其他显式噪声模型 51
3.2.3 计数过程数据 52
3.3 先验模型 54
3.3.1 Gauss先验函数 54
3.3.2 脉冲先验密度函数 55
3.3.3 不连续性 57
3.3.4 Markov随机场 58
3.3.5 基于样本的密度函数 61
3.4 Gauss密度函数 63
3.4.1 Gauss光滑化先验函数 70
3.5 对后验函数的诠释 79
3.6 Markov链Monte Carlo方法 80
3.6.1 基本思想 80
3.6.2 核的Metropolis-Hastings构造 83
3.6.3 Gibbs采样器 88
3.6.4 收敛性 94
3.7 层次模型 95
3.8 注释与评论 99
第4章 非稳态反问题 101
4.1 Bayes滤波 101
4.1.1 一个非稳态反问题 101
4.1.2 发展-观测模型 104
4.2 Kalman滤波器 108
4.2.1 线性Gauss型问题 108
4.2.2 扩展Kalman滤波器 111
4.3 粒子滤波器 114
4.4 空间先验函数 117
4.5 固定滞后和固定区间平滑化 121
4.6 高阶Markov模型 123
4.7 注释与评论 126
第5章 再议经典方法 127
5.1 估值理论 127
5.1.1 最大似然估计 128
5.1.2 Bayes成本诱导的估计量 128
5.1.3 带仿射估计量的估值误差 130
5.2 测试例 131
5.2.1 先验函数 132
5.2.2 观测算子 135
5.2.3 加性噪声模型 136
5.2.4 测试问题 137
5.3 基于样本的误差分析 138
5.4 截断奇异值分解 139
5.5 共轭梯度迭代 145
5.6 Tikhonov正则化 146
5.6.1 先验结构与正则化水平 147
5.6.2 Gauss观测误差模型的误设 149
5.6.3 加性Cauchy误差 151
5.7 离散化与先验模型 153
5.8 统计模型降阶、近似误差与反演过失 158
5.8.1 例子：全角断层成像与CGNE 160
5.9 注释与评论 163
第6章 模型问题 165
6.1 X射线断层成像 165
6.1.1 Radon变换 166
6.1.2 离散模型 168
6.2 反源问题 169
6.2.1 准静态Maxwell方程组 170
6.2.2 电学反源问题 172
6.2.3 磁学反源问题 173
6.3 电阻抗断层成像 176
6.4 光学断层成像 181
6.4.1 辐射转移方程 182
6.4.2 扩散近似 184
6.4.3 时谐测量 191
6.5 注释与评论 191
第7章 实例研究 193
7.1 图像去模糊与异常的重构 193
7.1.1 模型问题 193
7.1.2 降阶模型与近似误差模型 195
7.1.3 后验函数的取样 198
7.1.4 模拟误差的影响 203
7.2 有限角断层成像：牙科X射线成像 206
7.2.1 层估计 207
7.2.2 MAP估计 208
7.2.3 取样：Gibbs采样器 209
7.3 生物磁学反问题：源定位 210
7.3.1 使用Gauss白噪声先验模型的重构 211
7.3.2 使用e1-先验模型的偶极子强度重构 213
7.4 基于Bayes滤波的动态MEG 217
7.4.1 单偶极子模型 217
7.4.2 更现实的几何构形 220
7.4.3 多偶极子模型 221
7.5 电阻抗断层成像：最优电流模式 225
7.5.1 后验合成电流模式 225
7.5.2 最优准则 227
7.5.3 数值算例 230
7.6 电阻抗断层成像：近似误差的处理 233
7.6.1 网格与投影 233
7.6.2 先验函数与先验模型 235
7.6.3 误差增强模型 236
7.6.4 MAP估计 238
7.7 电阻抗过程断层成像 242
7.7.1 发展模型 243
7.7.2 观测模型与计算格式 245
7.7.3 同定滞后状态估计 247
7.7.4 流剖面的估值 249
7.8 各向异性介质中的光学断层成像 252
7.8.1 各向异性模型 253
7.8.2 线性化模型 256
7.9 光学断层成像：边界重构 259
7.9.1 一般椭圆情形 259
7.9.2 在光学扩散断层成像中的应用 262
7.10 注释与评论 264
附录A 线性代数与泛函分析 268
A.1 线性代数 268
A.2 泛函分析 271
A.3 Sobolev空间 272
附录B 概率论基础 276
B.1 基本概念 276
B.2 条件概率 280
索引 284
参考文献 288
《现代数学译丛》己出版书目 296
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