本书以数学模型及计算为主线，围绕微分方程与反问题，介绍了数学建模与计算的理论、方法及应用。微分方程及反问题研究在计算科学与工程领域具有特别重要的意义，在大数据和人工智能快速发展的时代正扮演着理论创新与技术升级的核心角色且起着不可替代的作用。
本书首先介绍数学建模的理论与方法，特别是微分方程、积分方程与反问题、线性代数方程组、最优化等模型，着重建模、计算与应用三方面；然后分别给出了大数据领域、图像处理与压缩感知领域中的建模与计算案例，供读者学习、研究参考。本书是新时代数学深度应用、新工科迅猛发展形势下的一本应用与计算数学书，具有交叉性、集成性、应用性特征，以激发读者活学数学、活用数学的思考与热情。
样章试读
目录
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序
Preface
前言
第1章 数学模型简介与举例 1
1.1 建立数学模型 1
1.1.1 数学模型 1
1.1.2 数学建模 2
1.2 数学科学与其他学科的融合 2
1.2.1 数学与交叉学科 2
1.2.2 计算科学与工程学科简介 3
1.3 数学建模的步骤和策略 4
1.3.1 数学建模的步骤 4
1.3.2 数学建模的策略 5
1.4 建模案例 7
1.4.1 微积分模型 7
1.4.2 微分方程模型 8
1.4.3 反问题模型 10
1.5 数学建模能力培养 15
1.6 评注与进一步阅读 16
1.7 训练题 17
第2章 常微分方程模型及数值求解 19
2.1 常微分方程模型举例 19
2.1.1 模型1：火焰燃烧模型 19
2.1.2 模型2：钟摆模型 20
2.1.3 模型3：大气运动 21
2.1.4 模型4：单体运动系统 22
2.2 常微分方程数值方法概述 23
2.2.1 离散化方法 24
2.2.2 显式欧拉方法 24
2.2.3 隐式欧拉方法 25
2.2.4 梯形方法 27
2.2.5 改进欧拉方法 28
2.2.6 Runge-Kutta方法 29
2.3 常微分方程模型求解 31
2.3.1 钟摆问题的求解 31
2.3.2 衰减钟摆问题及其求解 33
2.3.3 受力衰减钟摆问题及其求解 33
2.3.4 双钟摆问题及其求解 34
2.4 评注与进一步阅读 35
2.5 新型时滞动态系统——COVID-19疫情预测 37
2.6 训练题 40
第3章 偏微分方程模型及数值求解 42
3.1 偏微分方程模型举例 42
3.1.1 模型1：冷却散热片的稳态热分布模型 42
3.1.2 模型2：热量扩散模型 44
3.1.3 模型3：高频传输模型 45
3.2 椭圆型方程的数值方法 47
3.2.1 五点差分格式 48
3.2.2 九点差分格式 49
3.3 抛物型方程的数值方法 51
3.3.1 古典显格式 51
3.3.2 古典隐格式 53
3.3.3 Crank-Nicholson格式 54
3.4 双曲型方程的数值方法 55
3.4.1 显格式 55
3.4.2 隐格式 56
3.5 偏微分方程模型求解 57
3.5.1 椭圆型方程模型1——电场的分布模型 57
3.5.2 椭圆型方程模型2——冷却散热片的设计 59
3.5.3 抛物型方程模型1——水污染问题 60
3.5.4 抛物型方程模型2——草原犬生长率模型 61
3.5.5 双曲型方程模型——孤子 62
3.6 评注与进一步阅读 63
3.7 训练题 64
第4章 积分方程模型与计算 66
4.1 积分方程模型举例 66
4.2 积分方程的概念与分类 70
4.2.1 概念 70
4.2.2 方程分类 71
4.2.3 积分方程的不适定性例析 73
4.3 积分方程模型的计算 75
4.3.1 迭代方法 75
4.3.2 离散方法 78
4.3.3 积分变换方法 82
4.4 评注与进一步阅读 85
4.5 训练题 86
第5章 反问题模型与方法 88
5.1 反问题模型及其特征 88
5.1.1 反问题模型举例 88
5.1.2 反问题的特征 91
5.1.3 反问题的分类 93
5.1.4 反问题的适定性分析与求解方法 94
5.2 反问题的正则化方法 94
5.2.1 一般正则化理论 94
5.2.2 Tikhonov正则化方法 97
5.3 三类偏微分方程反问题与求解方法举例 98
5.3.1 对流扩散方程反问题 99
5.3.2 波动方程反问题 101
5.3.3 Laplace方程反问题 103
5.4 评注与进一步阅读 105
5.5 训练题 106
第6章 线性代数方程组模型及数值求解 107
6.1 线性方程组模型 107
6.2 高斯消去法 111
6.3 三角分解法 115
6.3.1 三角分解的紧凑格式 115
6.3.2 Cholesky分解 118
6.4 迭代法 119
6.4.1 Jacobi迭代法 120
6.4.2 Gauss-Seidel迭代法 121
6.4.3 超松弛迭代法 122
6.5 超定方程组的最小二乘解 122
6.5.1 矩阵的条件数 122
6.5.2 奇异值分解 123
6.5.3 超定方程的最小二乘解 124
6.5.4 病态方程组的正则化方法 127
6.6 评注与进一步阅读 131
6.7 训练题 132
第7章 最优化模型及数值求解 133
7.1 最优化模型 133
7.2 无约束优化问题的直接搜索算法 135
7.2.1 黄金分割法 135
7.2.2 模式搜索法 137
7.3 共轭梯度法 138
7.4 随机算法 139
7.4.1 粒子群方法 139
7.4.2 模拟退火算法 140
7.5 评注与进一步阅读 141
7.6 训练题 142
7.7 优化算法的应用：K-Means聚类 142
第8章 数据驱动建模 147
8.1 数据建模之函数逼近、回归方法 147
8.1.1 函数逼近 147
8.1.2 回归分析 150
8.2 数据分类方法 152
8.2.1 二分类方法 152
8.2.2 决策树方法 154
8.3 支持向量机方法 156
8.3.1 Rosenblatt感知器 156
8.3.2 支持向量机的思想与方法 160
8.3.3 解线性算子方程的支持向量机方法 163
8.4 数据聚类算法 166
8.5 数据分类与聚类算例 170
8.5.1 信用数据分类 170
8.5.2 物流数据聚类 171
8.6 随机反问题 173
8.6.1 模型举例 173
8.6.2 算子方程描述 175
8.6.3 正则化方法 177
8.7 评注与进一步阅读 178
8.8 训练题 181
第9章 图像处理与压缩感知建模与计算 182
9.1 图像去噪 182
9.1.1 准备知识——图像的载入和存储 182
9.1.2 基于偏微分方程的图像去噪 185
9.2 图像识别 188
9.2.1 最近邻法 188
9.2.2 小波分解 189
9.2.3 图像奇异值分解 192
9.2.4 线性判别分析 194
9.3 压缩感知 197
9.3.1 什么是压缩感知 197
9.3.2 压缩感知的反问题模型 198
9.3.3 压缩感知的图像重建算法 199
9.3.4 压缩感知图像和信号重建举例 201
9.4 评注与进一步阅读 205
附录 各章MATLAB程序代码 206
J.1 第1章程序代码 206
J.2 第2章程序代码 206
J.3 第3章程序代码 209
J.4 第4章程序代码 214
J.5 第5章程序代码 218
J.6 第6章程序代码 226
J.7 第7章程序代码 227
J.8 第8章程序代码 230
J.9 第9章程序代码 233
参考文献 235
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