“高等数学”课程是高等院校数学教育中一门重要的公共基础课。通过该课程的教学,一方面为学生后续的数学课程和专业课程提供必要的数学基础知识,另一方面进一步提高了学生的数学素质,为学生进一步深造做好必要的准备。本书分为上、下两册,上册包括:函数、极限、连续,导数及其应用,中值定理与导数的应用,不定积分,定积分及其应用,微分方程。
本书可作为高等院校理工科相关专业的教材,也可供相关人员参考使用。
样章试读
目录
- 前言
上册
第1章 函数 极限 连续
1.1 预备知识
1.1.1 常用数学符号及初等公式
1.1.2 集合
1.1.3 区间、邻域
习题1-1
1.2 映射与函数
1.2.1 函数的概念
1.2.2 函数的几种特性
1.2.3 函数的运算
1.2.4 初等函数
1.2.5 双曲函数
习题1-2
1.3 极限的概念
1.3.1 数列
1.3.2 数列的极限
1.3.3 函数的极限
习题1-3
1.4 无穷大与无穷小
1.4.1 无穷小
1.4.2 无穷大
习题1-4
1.5 极限性质和运算法则
1.5.1 极限的性质
1.5.2 函数极限与数列极限的关系
1.5.3 极限的四则运算法则
1.5.4 极限的复合运算法则
习题1-5
1.6 极限存在准则及两个重要极限
1.6.1 极限存在准则Ⅰ与第一重要极限
1.6.2 极限存在准则Ⅱ与第二重要极限
习题1-6
1.7 无穷小的比较
1.7.1 无穷小的阶
1.7.2 等价无穷小替代定理
习题1-7
1.8 函数的连续性
1.8.1 函数的连续性
1.8.2 函数的间断点
1.8.3 连续函数的运算
1.8.4 初等函数的连续性
1.8.5 闭区间上连续函数的性质
习题1-8
总习题一
第2章 导数及其应用
2.1 导数的概念
2.1.1 引例
2.1.2 导数的定义
2.1.3 求导举例
2.1.4 函数的可导性与连续性之间的关系
习题2-1
2.2 求导法则
2.2.1 导数的四则运算
2.2.2 反函数的求导法则
2.2.3 复合函数的求导法则
2.2.4 基本求导法则与基本初等函数的导数公式
习题2-2
2.3 高阶导数
习题2-3
2.4 隐函数和由参数方程确定的函数导数 相关变化率
2.4.1 隐函数的导数
2.4.2 由参数方程确定的函数的导数
2.4.3 相关变化率
习题2-4
2.5 函数的微分
2.5.1 微分的定义
2.5.2 微分的几何意义
2.5.3 微分的基本公式与法则
2.5.4 微分在近似计算中的应用
习题2-5
总习题二
第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
3.1.1 罗尔(Rolle)定理
3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理
习题3-1
3.2 洛必达法则
3.2.1 0/0型未定式
3.2.2 ∞/∞型未定式
3.2.3 其他未定式
习题3-2
3.3 泰勒公式
习题3-3
3.4 函数的单调性与极值
3.4.1 函数的单调性
3.4.2 函数的极值
习题3-4
3.5 函数曲线的凹凸性与函数图形的描绘
3.5.1 曲线的凹凸性与拐点
3.5.2 函数图形的描绘
习题3-5
3.6 函数的最大值与最小值
习题3-6
总习题三
第4章 不定积分
4.1 不定积分的概念和性质
4.1.1 原函数与不定积分的概念
4.1.2 不定积分的性质
4.1.3 基本积分公式
习题4-1
4.2 换元积分法
4.2.1 第一类换元积分法
4.2.2 第二类换元积分法
习题4-2
4.3 分部积分法
4.3.1 分部积分公式
4.3.2 分部积分公式应用举例
习题4-3
4.4 几种特殊类型函数的积分
4.4.1 有理函数的积分
4.4.2 三角函数有理式的积分
4.4.3 简单无理函数的积分
习题4-4
总习题四
第5章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念及性质
5.1.1 引例
5.1.2 定积分的概念
5.1.3 定积分的性质
习题5-1
5.2 微积分基本公式
5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系
5.2.2 积分上限函数及其导数
5.2.3 牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
习题5-2
5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
5.3.1 定积分的换元积分法
5.3.2 定积分的分部积分法
习题5-3
5.4 反常积分
5.4.1 无穷限的反常积分
5.4.2 无界函数的反常积分
习题5-4
5.5 定积分的几何应用
5.5.1 定积分的元素法
5.5.2 平面图形的面积
5.5.3 体积
5.5.4 平面曲线的弧长
习题5-5
5.6 定积分的物理应用
5.6.1 变力沿直线所作的功
5.6.2 水压力
5.6.3 引力
习题5-6
总习题五
第6章 微分方程
6.1 微分方程的基本概念
6.1.1 微分方程
6.1.2 微分方程的解
习题6-1
6.2 可分离变量的微分方程与齐次方程
6.2.1 可分离变量的微分方程
6.2.2 齐次方程
习题6-2
6.3 一阶线性微分方程与伯努利方程
6.3.1 一阶线性微分方程
6.3.2 伯努利方程
习题6-3
6.4 可降阶的高阶微分方程
6.4.1 y^(n)=f(x)型的微分方程
6.4.2 y″=f(x,y′)型的微分方程
6.4.3 y″=f(y,y′)型的微分方程
习题6-4
6.5 二阶常系数线性微分方程
6.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
6.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
习题6-5
总习题六
部分习题答案与提示
下册
第7章 空间解析几何与向量代数
7.1 空间直角坐标系 向量及其线性运算
7.1.1 空间直角坐标系
7.1.2 空间两点间的距离
7.1.3 向量及其线性运算
7.1.4 向量及其线性运算的坐标化
7.1.5 向量的模、方向、投影的坐标化
习题7-1
7.2 数量积 向量积
7.2.1 两向量的数量积
7.2.2 两向量的向量积
习题7-2
7.3 平面及其方程
7.3.1 平面的方程
7.3.2 两平面的夹角
7.3.2 两平面的夹角
习题7-3
7.4 曲面及其方程
7.4.1 曲面方程的概念
7.4.2 旋转曲面
7.4.3 柱面
7.4.4 二次曲面
习题7-4
7.5 空间直线及其方程
7.5.1 空间直线的方程
7.5.2 两直线的夹角
7.5.3 直线与平面的夹角
7.5.4 平面束
习题7-5
7.6 空间曲线及其方程
7.6.1 空间曲线的方程
7.6.2 空间曲线在坐标面上的投影
习题7-6
总习题七
第8章 多元函数微分法及其应用
8.1 多元函数的基本概念
8.1.1 平面点集n维空间
8.1.2 多元函数概念
8.1.3 多元函数的极限与连续性
习题8-1
8.2 偏导数
8.2.1 偏导数的定义及其计算法
8.2.2 高阶偏导数
习题8-2
8.3 全微分
8.3.1 全微分的定义
8.3.2 全微分在近似计算中的应用
习题8-3
8.4 多元复合函数的求导法则
8.4.1 多元复合函数的求导法
8.4.2 多元复合函数的二阶偏导数的求法
8.4.3 全微分的形式不变性
习题8-4
8.5 隐函数的求导公式
8.5.1 一个方程的情形
8.5.2 方程组的情形
习题8-5
8.6 多元函数微分学的几何应用
8.6.1 空间曲线的切线与法平面
8.6.2 曲面的切平面与法线
习题8-6
8.7 方向导数与梯度
8.7.1 方向导数
8.7.2 梯度
习题8-7
8.8 多元函数的极值及其应用
8.8.1 无条件极值
8.8.2 条件极值与拉格朗日乘数法
习题8-8
总习题八
第9章 重积分
9.1 重积分的概念与性质
9.1.1 重积分的几个实例
9.1.2 重积分的定义
9.1.3 重积分的性质
习题9-1
9.2 二重积分的计算法
9.2.1 利用直角坐标计算二重积分
9.2.2 利用极坐标计算二重积分
习题9-2
9.3 三重积分的计算
9.3.1 利用直角坐标计算三重积分
9.3.2 利用柱面坐标计算三重积分
9.3.3 利用球坐标计算三重积分
习题9-3
9.4 重积分的应用
9.4.1 曲面的面积
9.4.2 平面薄片的质心
9.4.3 平面薄片的转动惯量
9.4.4 引力
习题9-4
总习题九
第10章 曲线积分与曲面积分
10.1 对弧长的曲线积分
10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
10.1.2 对弧长的曲线积分的计算法
习题10-1
10.2 对坐标的曲线积分
10.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质
10.2.2 两类曲线积分之间的关系
10.2.3 对坐标的曲线积分的计算
习题10-2
10.3 格林公式及其应用
10.3.1 格林公式
10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
10.3.3 二元函数的全微分求积
习题10-3
10.4 对面积的曲面积分
10.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质
10.4.2 对面积的曲面积分的计算
习题10-4
10.5 对坐标的曲面积分
10.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质
10.5.2 对坐标的曲面积分的计算法
10.5.3 两类曲面积分之间的联系
习题10-5
10.6 高斯公式 通量与散度
10.6.1 高斯公式
10.6.2 通量与散度
习题10-6
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
10.7.1 斯托克斯公式
10.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件
10.7.3 环流量与旋度
习题10-7
总习题十
第11章 无穷级数
11.1 常数项级数的概念和性质
11.1.1 常数项无穷级数的概念
11.1.2 无穷级数的基本性质
习题11-1
11.2 常数项级数的审敛法
11.2.1 正项级数的定义及其收敛的充要条件
11.2.2 正项级数的审敛法
11.2.3 交错级数及其审敛法
11.2.4 绝对收敛与条件收敛
习题11-2
11.3 幂级数
11.3.1 函数项级数的基本概念
11.3.2 幂级数及其收敛性
11.3.3 幂级数的运算及性质
习题11-3
11.4 函数的幂级数展开式
11.4.1 泰勒级数
11.4.2 函数的幂级数展开
习题11-4
11.5 傅里叶级数
11.5.1 三角级数 三角函数系的正交性
11.5.2 傅里叶级数
11.5.3 正弦级数和余弦级数
11.5.4 周期为2l的周期函数的傅里叶级数
习题11-5
总习题十一
部分习题答案与提示
参考文献