本书是《有向几何学》系列研究成果之三。在《平面有向几何学》等研究成果的基础上，创造性地、广泛地运用有向面积和有向面积定值法，对平面有关问题进行研究，得到了一系列的有关三角形内、外侧多角形，多角形左、右侧多角形，垂足多边形，圆锥曲线内、外切多角形，线型三角形等有向面积的定值定理，揭示了这些定理与经典数学问题、数学定理和一大批数学竞赛题之间的联系，使这些经典数学问题、数学定理和数学竞赛题得到了推广、证明或加强，较为系统、深入地阐述了有向面积的基本理论、基本思想和基本方法，以及有向面积在几何不等式证明中的思想方法。它对开拓数学的研究领域，揭示事物之间本质的联系，探索数学研究的新思想、新方法具有重要的理论意义；对丰富几何学各学科，以及相关数学学科的教学内容，促进大学和中学数学教学内容改革的发展具有重要的现实意义；此外，有向几何学的研究成果和研究方法，对数学定理的机械化证明也具有重要的应用和参考价值。
样章试读
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前言
第1章 三角形外（内）侧多角形中有向面积的定值定理与应用 1
1.1 三角形外（内）侧（λ，μ）三角形有向面积的定值定理与应用 1
1.1.1 三角形外（内）侧（λ，μ）三角形的概念 1
1.1.2 三角形外（内）侧（λ，μ）三角形有向面积公式与应用 2
1.1.3 三角形外（内）侧（λ，μ）三角形中有向面积的定值定理与应用 5
1.2 三角形各边外（内）侧三角形有向面积的定值定理与应用 10
1.2.1 三角形各边外（内）侧三角形的概念 10
1.2.2 三角形各边外（内）侧三角形有向面积定值定理与应用 10
1.2.3 三角形各边外（内）侧相似三角形有向面积的定值定理与应用 14
1.3 三角形外（内）侧多边（角）形有向面积的定值定理与应用 18
1.3.1 三角形各边外（内）侧多边（角）形的概念 18
1.3.2 三角形外（内）侧正方形中有向面积的定值定理与应用 19
1.3.3 三角形外（内）侧相似长方形中有向面积的定值定理与应用 25
1.3.4 三角形外（内）侧平行四边形中有向面积的定值定理与应用 28
1.4 三平行四边形中有向面积的定值定理及其应用 33
1.4.1 三角形三平行四边形的概念 33
1.4.2 三角形三平行四边形有向面积的定值定理与应用 33
第2章 多角形右（左）侧多角形中有向面积的定值定理与应用 36
2.1 多角（边）形右（左）侧（λ，μ）多角（边）形中有向面积的定值定理与应用 36
2.1.1 多角（边）形右（左）侧（λ，μ）多角（边）形的概念 36
2.1.2 多边形右（左）侧（λ，μ）多边形有向面积的性质 37
2.1.3 多角形右（左）侧（λ，μ）多角形重心的性质与应用 39
2.1.4 一顶点重合的两相似长方形中有向面积的定值定理与应用 40
2.1.5 四边形左、右侧（λ，μ）四角形中有向面积的定值定理 42
2.2 多角（边）形各边右（左）侧三角形中有向面积的定值定理与应用 44
2.2.1 多角（边）形各边右（左）侧三角形的概念 44
2.2.2 2n+1角形各边右（左）侧相似三角形中有向面积的定值定理 44
2.2.3 2n+1角形各边右（左）侧相似三角形中有向面积的定值定理的应用 47
2.3 n角形中 n相似形中有向面积的定值定理及其应用 50
2.3.1 n角（边）形的n相似形的概念 50
2.3.2 n角形中n相似四边形有向面积的定值定理及其应用 51
2.3.3 n角形中n相似平行四边形有向面积的定值定理与应用 56
第3章 垂足多边形有向面积的定值定理与应用 59
3.1 垂足三角形有向面积公式与应用 59
3.1.1 垂足三角形的概念 59
3.1.2 垂足三角形有向面积的定值定理 59
3.1.3 垂足三角形有向面积定值定理的应用 62
3.2 垂足多角形（多边形）中有向面积的定值定理与应用 65
3.2.1 垂足多角形（多边形）的概念 65
3.2.2 圆内接多角形的垂足多边形有向面积公式与应用 66
3.2.3 圆内接多边形的垂足多边形有向面积公式与应用 68
3.3 垂足的性质定理与应用 72
3.3.1 三角形垂足的性质定理与应用 72
3.3.2 多角形垂足的性质定理与应用 74
3.4 完全四边形的垂足四边形有向面积的定值定理与应用 78
3.4.1 完全四边形的垂足四边形的概念 78
3.4.2 垂足四边形有向面积的定值定理与应用 80
第4章 圆锥曲线外切三角形中有向面积的定值定理与应用 83
4.1 Ceva线三角形有向面积的定值定理与应用 83
4.1.1 Ceva线三角形的概念 83
4.1.2 Ceva线三角形有向面积的定值定理 83
4.1.3 Ceva线三角形有向面积的定值定理的推广 88
4.2 顶切点线三角形中有向面积的定值定理与应用 90
4.2.1 圆锥曲线与圆锥曲线外切三角形的概念 90
4.2.2 各类圆锥曲线外切三角形中有向面积的定值定理 92
4.2.3 圆锥曲线外切三角形中有向面积的定值定理与应用 98
4.3 圆锥曲线外切三角形中两个结论的推广与证明 101
4.3.1 椭圆外切三角形中一个结论的推广与证明 102
4.3.2 Lemoine线定理的证明 104
4.4 圆锥曲线外切三角形中有向面积的定值定理与应用 108
4.4.1 椭圆外切三角形中有向面积的定值定理及其应用 108
4.4.2 圆外切三角形中有向面积的定值定理与应用 111
第5章 圆锥曲线多角形中有向面积的定值定理与应用 114
5.1 圆锥曲线外切n(n≥4）角形中有向面积的定值定理与应用 114
5.1.1 圆锥曲线外切多角形的概念与记号 114
5.1.2 各类圆锥曲线外切n(n≥4）角形中有向面积的定值定理 115
5.1.3 统一的圆锥曲线外切n(n≥4）角形中有向面积的定值定理 122
5.1.4 圆锥曲线外切n(n≥4）角形中有向面积的定值定理的应用 126
5.2 圆锥曲线外切mn(m，n≥2）角形中有向面积的定值定理与应用 132
5.2.1 各类圆锥曲线外切mn(m，n≥2）角形中有向面积的定值定理 132
5.2.2 统一的圆锥曲线外切mn(m，n≥2）角形中有向面积的定值定理 135
5.2.3 圆锥曲线外切mn(m，n≥2）角形中有向面积的定值定理的应用 137
5.3 圆锥曲线外切2n+1(n≥1）角形中有向面积的定值定理与应用 141
5.3.1 顶切点线三角形的概念与记号 141
5.3.2 各类外切2n+1(n≥1）角形中有向面积的定值定理 142
5.3.3 统一的圆锥曲线外切2n+1(n≥1）角形中有向面积的定值定理 151
5.3.4 圆锥曲线外切2n+1(n≥1）角形中有向面积的定值定理的应用 154
第6章 圆锥曲线内接、外切多角（边）形中有向面积的定值定理与应用 158
6.1 椭圆内接多边形的最值定理与应用 158
6.1.1 椭圆内接多边形的最值定理 158
6.1.2 面积最大的椭圆内接六边形中有向面积的定值定理与应用 160
6.1.3 面积最大的椭圆内接五边形、四边形中有向面积的定值定理与应用 162
6.2 面积最大的椭圆内接多边形中有向面积的定值定理与应用 166
6.2.1 椭圆内接2n边形的性质 167
6.2.2 面积最大的椭圆内接4n边形中点线三角形有向面积的定值定理与应用 167
6.2.3 面积最大的椭圆内接4n+2边形中点线三角形有向面积的定值定理与应用 169
6.2.4 面积最大的椭圆内接十二边形对角线三角形有向面积的定值定理与应用 171
6.3 椭圆内接多角形中有向面积的定值定理与应用 173
6.3.1 一类椭圆内接六角形中点线三角形有向面积的定值定理与应用 173
6.3.2 一类椭圆内接十角形中点线三角形有向面积的定值定理与应用 176
6.4 圆锥曲线内接多角形中几个定理的证明 180
6.4.1 圆锥曲线内接六角形的Pascal定理及其证明 181
6.4.2 退化圆锥曲线内接六角形中的Pascal定理及其证明 184
6.5 圆锥曲线内接、外切多边形有向面积之间的关系定理 186
6.5.1 椭圆内接、外切三角形有向面积之间的关系定理 186
6.5.2 双曲线内接、外切三角形有向面积之间的关系定理 187
6.5.3 Mobius定理的推广与证明 188
第7章 线型三角形有向面积公式与应用 190
7.1 线型三角形有向面积公式 190
7.1.1 三直线组一、二阶行列式的概念与性质 190
7.1.2 线型三角形有向面积公式 192
7.2 线型三角形有向面积公式在面积关系问题证明中的应用 196
7.2.1 线型三角形有向面积公式在圆锥曲线法线三角形面积求解中的应用 197
7.2.2 线型三角形有向面积公式在数学竞赛题面积关系式证明中的应用 199
7.3 三线共点的充要条件与应用 209
7.3.1 三直线共点的充要条件 209
7.3.2 三线共点充要条件在三直线共点证明中的应用 212
7.3.3 三线共点充要条件在三点共线证明中的应用 230
7.3.4 三线共点充要条件在两线垂直证明中的应用 234
7.4 平面六点组坐标行列式的一个性质与应用 236
7.4.1 平面六点组坐标行列式的概念 237
7.4.2 平面六点组坐标行列式的性质 237
7.4.3 平面六点组坐标行列式性质的应用 240
7.5 两三角形的垂三角形有向面积的定值定理及应用 241
7.5.1 两三角形的垂三角形有关的概念 242
7.5.2 两三角形及其垂三角形有向面积的关系定理及其应用 243
7.5.3 两三角形的顶点向量数量积的定值定理及其应用 245
7.5.4 两三角形顶点间距离的关系定理及其应用 246
7.5.5 两个三角形外正方形中心三角形有向面积的关系定理及其应用 248
7.6 三角形与圆锥曲线交点的垂线三角形（有向）面积公式及应用 250
7.6.1 三角形各边所在直线与椭圆交点的垂线三角形（有向）面积公式及其应用 250
7.6.2 三角形各边所在直线与双曲线交点的垂线三角形（有向）面积公式及其应用 253
7.6.3 三角形各边所在直线与抛物线交点的垂线三角形（有向）面积公式及其应用 255
7.6.4 三角形各边所在直线与圆锥曲线交点的垂线三角形（有向）面积公式及其应用 257
第8章 有向面积公式在不等式证明中的应用 260
8.1 三角形有向面积公式在几何不等式证明中的应用 260
8.1.1 三角形与其λ-分点三角形面积关系不等式与应用 260
8.1.2 三角形有向面积公式在数学竞赛题证明中的应用 262
8.2 三角形（有向）面积关系式在几何不等式证明中的应用 266
8.2.1 三角形诸心、诸点三角形（有向）面积公式在不等式证明中的应用 266
8.2.2 椭圆内接、外切三角形有向面积之间的关系在证明不等式中的应用 268
8.2.3 三角形与其定比分点线三角形有向面积关系定理及其应用 269
8.3 多边形（有向）面积公式在几何不等式证明中的应用 280
8.3.1 凸多边形与其λ-定比分点多边形面积关系不等式与应用 280
8.3.2 三角形中一个多边形有向面积关系定理及其应用 282
8.3.3 凸四边形与其分点四边形面积关系定理与应用 287
8.3.4 正六边形与其内接平行四边形面积关系定理与应用 289
第9章 有向距离与有向面积间的关系与应用 292
9.1 两点间有向距离与三角形有向面积的关联问题与应用 292
9.1.1 n角形中关系两点间有向距离和三角形有向面积的问题与应用 292
9.1.2 正多边形中关系两点间有向距离和三角形有向面积的问题 294
9.1.3 平面五点组中关系两点间有向距离和三角形有向面积的问题 298
9.2 点到直线有向距离与有向面积间的关系与应用 299
9.2.1 点到直线有向距离与有向面积之间的关系 299
9.2.2 有向距离与有向面积关系命题的等价性 301
9.2.3 四边形（1，μ）外（内）侧四角形中有向距离和有向面积的定值定理 306
9.3 三角形中有向距离与有向面积的定值定理与应用 308
9.3.1 三角形中有向距离与边三角形、中线三角形有向面积的定值定理与应用 308
9.3.2 三角形中有向距离与高线三角形等有向面积的定值定理与应用 311
9.3.3 三角形旁切圆中有向距离与有向面积的定值定理与应用 316
9.3.4 三角形外、内侧正方形中有向距离与有向面积的定值定理与应用 320
9.3.5 三角形面积与高足线距离之间的关系 322
9.4 梯形中有向距离与有向面积的定值定理与应用 324
9.4.1 梯形中有向距离与有向面积的定值定理 324
9.4.2 梯形中有向距离与有向面积定值定理的应用 326
参考文献 331
名词索引 334
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